# 几何学基础（专业选修）
## 课程简介
本课程先从数学史入手介绍希尔伯特公理体系以及背后的一些基础的数学思想，但是希尔伯特公理体系不是这门课的重点，以此为开端旨在培养严谨的数学推理逻辑，之后进入欧式几何部分，着重介绍了刚体变换和二次曲面，对其中的一些知识从线性代数和群论的角度出发进行阐述，具体来说，课堂内容包括几何公理化体系，三维欧式空间与向量代数初步，直线与平面，刚体变换，二次曲线与二次曲面在刚体变换下的分类，射影平面与射影坐标，射影变换，二次射影曲线在射影变换下的分类，欧拉公式与曲面拓扑基础，几何学的一些应用等。如果用一句话概括几何的本质，克莱因的观点是：几何是研究变换群作用下不变性质的学科，从严到松地，旋转变换群SO(2)对应保距、保定向、保到原点距离，刚体变换群SE(2)对应保距、保定向，等距变换群E(2)对应保距，相似变换群SIM(2)对应保角、保长度比，仿射变换群AFF(2)对应保平行性、保平行线段长度比、保面积比，射影变换群G\_{射影}对应保交比、保共线，拓扑变换群G\_{拓扑}对应拓扑性质与拓扑不变量（比如分离公理、可数公理、列紧性、进制性、连通性、道路连通性等）。。本质上这门课是在研究满足不同约束的矩阵所对应的变换下的几何不变量。
## 前置知识涉及的课程
非必需但有助于理解：线性代数，离散数学（群论）
## 往年经验
本门课重在知识和概念的理解，建议上课认真听课，跟着老师记笔记。有不会的问题当堂下课找老师及时解决，期中期末要反复复习课堂笔记。学有余力的同学可以阅读《希尔伯特几何学基础》《古今数学思想》。
——“王作勤老师讲课是很富有激情的，来科大读书建议听一听”
另外课程平时作业很有数学味道（关心存在性唯一性之类的），证明偏多，还是要耗费不少时间的。
## 与后续课程的关系
能够提供一种对几何的全新认知，开阔数学思维，尤其是射影几何部分有助于后续深入研究计算机图形学，并且对拓扑感兴趣的同学可以初步接触拓扑知识。
借用一下评课社区用户"原生生物"对这门课的评价。
> 如果说从这门课程中能学到什么，除了上述知识与思想外，还有一个非常重要的东西：对“直观”理解与思考。从刚体变换到射影变换再到连续变换，变换所能保持的良好性质越来越少，我们也越来越难建立直观。某种意义上，学几何学是为了培养直观，也是为了摆脱直观。从笛卡尔引入坐标系起，“直观”的图形变成了“不直观”的方程式，有些结论却变得更加简洁。在大家苦于高考解析几何的暴算时，不妨想想，如果没有这样清晰的计算工具，如何研究椭圆？当矩阵变换下，很多性质都无法确定时，我们为了得到最终结果，还是需要“抽象”的代数。另一方面，直观仍然重要，因为它可以带来对一些结论的敏感。哪怕是代数中，很多时候为了建立理解，都要举出很多例子，为的就是让某个抽象的定理更加“直观”。几何中更是如此，我们希望射影平面可以部分当作欧氏平面处理，就是因为可以在欧氏平面中画出具体的图形，更好体会结论。所以，这门课程中几何与代数的结合，或许也是在构建一个直观与抽象间的平衡。
>
> 另一个值得提醒的是，这门课被有的同学戏称为「线性代数A0」，足见其线代含量。如果轻视了矩阵和相关的处理技巧，也很难把这门课学好（这也是为什么上方推荐了线性代数相关的视频）。其中涉及的最难部分大概在二次型对角化（二次曲面分类）处，到时候可能会根据讲课情况补充一些前置知识
通过这门课可以熟练掌握R^2与R^3中的几何变换及其相应的几何直观，这部分与现实联系较强（图像可以视为一个矩阵），为计算机图形学、数字图像处理、计算机视觉等课程的学习打下良好的几何基础。在此基础上，可以进一步了解多视几何——多视角下的几何学，这部分知识在计算机图形学的成像投影与计算机视觉的三维重建等方面有诸多应用。另外，几何是研究变换群作用下不变性质的学科，而在深度学习中，CNN与平移不变性、RNN与时序一致性、GNN与图的对称性（邻接矩阵的排序不变性）等等，某种意义上，深度网络刻画学习的这种不变性可能是模型泛化能力的保证，从这个角度，可以进一步了解几何深度学习。
## 课程资源
{% embed url="" %}
## 目录
几何学基础教学提纲
几何史与公理化
平面（解析）几何
刚体变换
二次曲面分类
射影变换
拓扑基础